Existencia e inestabilidad espectral de ondas periódicas para leyes viscosas de balance

Resumen:

En esta charla, discutiré la existencia y las propiedades de estabilidad de ondas viajeras acotadas y espacialmente periódicas, para una clase grande de leyes viscosas de balance escalares en una dimensión espacial y con término de balance de tipo logístico o monoestable. Mostraré que, bajo ciertas hipótesis estructurales, la familia tiene dos clases de soluciones de tipo onda periódica. La primera clase consiste en ondas de amplitud pequeña y periodo fundamental acotado que emergen de una bifurcación de Hopf alrededor de un valor crítico de la velocidad de la onda. La segunda familia consiste de ondas con amplitud acotada y periodo fundamental arbitrariamente grande, las cuales emergen de una bifurcación de tipo homoclínica alrededor de un segundo valor crítico de la velocidad; además, en el límite cuando la velocidad tiende a dicho valor crítico, las ondas tienden a una órbita homoclínica (pulso) y su periodo fundamental tiende a infinito. Para ambas clases de ondas, se demuestra que el espectro de Floquet de la linealización alrededor de la onda periódica intersecta el semiplano complejo inestable con parte real estrictamente positiva. Para ello, se aplica la teoría de perturbaciones analíticas de Kato y el teorema de aproximación homoclínica de Gardner. Se presentan algunos ejemplos. Éste es un trabajo en colaboración con Enrique Álvarez (Posgrado en Ciencias Matemáticas, UNAM).

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